国家开放大学《微积分基础》形考任务下载作业答案

微积分基础下载作业

提交作业方式有以下三种，请务必与辅导教师沟通后选择：

1. 将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．
2. 在线提交word文档．
3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

每小题10分，共100分，要求写出解题过程

⒈计算极限．

• 步骤：
  • 先对分子分母进行因式分解。分子x2−2x−3=(x−3)(x+1)，分母x2−x−6=(x−3)(x+2)。
  • 则原式变为limx→3​(x−3)(x+2)(x−3)(x+1)​。
  • 因为x→3但x=3，所以可以约去(x−3)，得到limx→3​x+2x+1​。
  • 把x=3代入x+2x+1​，可得3+23+1​=54​。

2.计算极限．

• 对分子分母因式分解，分子x2−x−2=(x−2)(x+1)，分母x2−4=(x−2)(x+2)。

• 原式变为limx→2​(x−2)(x+2)(x−2)(x+1)​。

• 约去(x−2)（x→2且x=2），得到limx→2​x+2x+1​。

• 把x=2代入x+2x+1​，可得2+22+1​=43​。

3．设，求.

• 先将xx​化简为x23​。

• 根据求导公式(xn)′=nxn−1，(sinu)′=cosu⋅u′，(x23​)′=23​x23​−1=23​x21​，(sin4x)′=cos4x⋅(4x)′=4cos4x。

• 所以y′=23​x​+4cos4x。

4．设，求.

• 根据求导公式(lnu)′=uu′​，(vu​)′=v2u′v−uv′​。

• [ln(x+1)]′=x+11​，对于x+1x​，u=x，u′=1，v=x+1，v′=1，则(x+1x​)′=(x+1)21⋅(x+1)−x⋅1​=(x+1)21​。

• 所以y′=x+11​−(x+1)21​=(x+1)2x+1−1​=(x+1)2x​。

5.设，求.

• • 根据求导公式(ex)′=ex，(x1​)′=(x−1)′=−1×x−1−1=−x21​。
  • 所以y′=ex−x21​。

6.计算不定积分

• 用分部积分法，设u=x，dv=sin2xdx。

• 则du=dx，v=−21​cos2x。

• 根据分部积分公式∫udv=uv−∫vdu，可得∫xsin2xdx=−21​xcos2x+21​∫cos2xdx。

• 而∫cos2xdx=21​sin2x+C（C为常数），所以∫xsin2xdx=−21​xcos2x+41​sin2x+C。

7.计算不定积分.

• 令u=x2+1，则du=2xdx，xdx=21​du。

• 原积分变为21​∫udu​。

• 根据积分公式∫u1​du=ln∣u∣+C，可得21​∫udu​=21​ln∣x2+1∣+C 。

8.计算定积分

• 用分部积分法，设u=2x，dv=exdx，则du=2dx，v=ex。

• 根据分部积分公式∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu，[2xex]01​−∫01​2exdx。

• 计算[2xex]01​=2e−0=2e，∫01​2exdx=[2ex]01​=2e−2。

• 所以∫01​2xexdx=2e−(2e−2)=2。

9.计算定积分.

• 用分部积分法，设u=lnx，dv=dx。
• 根据求导公式(lnx)′=x1​，可得du=x1​dx；根据积分公式∫dx=x+C（C为常数），可得v=x。
• 根据分部积分公式∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu，这里a=1，b=e，则∫1e​lnxdx=[xlnx]1e​−∫1e​x⋅x1​dx。
• 先计算[xlnx]1e​，把x=e代入xlnx得elne=e，把x=1代入xlnx得1×ln1=0，所以[xlnx]1e​=e−0=e。
• 再计算∫1e​x⋅x1​dx=∫1e​dx，根据积分公式∫dx=x+C，[x]1e​=e−1。
• 所以∫1e​lnxdx=e−(e−1)=1。

10.计算定积分.

• • 用分部积分法，设u=x，dv=cosxdx。
  • 根据求导公式(x)′=1，可得du=dx；根据积分公式∫cosxdx=sinx+C（C为常数），可得v=sinx。
  • 根据分部积分公式∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu，这里a=0，b=2π​，则∫02π​​xcosxdx=[xsinx]02π​​−∫02π​​sinxdx。
  • 先计算[xsinx]02π​​，把x=2π​代入xsinx得2π​sin2π​=2π​，把x=0代入xsinx得0×sin0=0，所以[xsinx]02π​​=2π​−0=2π​。
  • 再计算∫02π​​sinxdx，根据积分公式∫sinxdx=−cosx+C，[−cosx]02π​​=−cos2π​−(−cos0)=0+1=1。
  • 所以∫02π​​xcosxdx=2π​−1。